​​深度启发：破解数学“浅思维”的困局

——《正弦定理》课堂教学创新设计

南京市人民中学 孙仕贤

 

【教材选择与分析】

本节选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书·必修5》第一章解三角形的第一节内容，本节内容是解三角形内容的基础。解三角形是高中三角函数知识的最后一部分内容，它既承接了之前所学习的三角函数与平面向量知识内容，同时也把三角与向量部分知识进行了联系，起到了“知识桥梁”作用。

本节内容高中数学知识体系中的重要的组成部分，进一步建立了三角形边和角之间的数量关系，为之后余弦定理的学习打下一定的基础，同时也是对初中学习的三角形相关知识的进一步拓展与补充。

此外，本节内容的学习更重要的是解决了实际生活中的一些解三角形问题，通过解决实际问题强化了学生“数学建模”、“数学抽象”、“数学运算”等核心素养，同时，初步形成解三角形的知识体系框架。不难发现，正弦定理一节内容在本章中起到了引领的作用，也体现了数学知识之间承上启下作用。

 

【研究问题与主题】

正弦定理的学习过程中，充分体现了抽象的代数式与具体几何图形的联系。学生在经历定理发现、猜想、证明的过程中，可以提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养；从比较直观的添加辅助线作高的方法证明推导正弦定理再到向量法证明推导，这个由简到繁，由直观到抽象的过程提升了学生数学抽象、逻辑推理的数学核心素养；再者，通过从旧知出发学习新知，将旧知与新知结合，形成知识框架的过程，提升了学生数学抽象与逻辑推理的数学核心素养；正弦定理的学习更多的是应用于实际问题中，应用正弦定理解决实际的解三角形问题提升了学生直观想象、数学建模的数学核心素养。（建议扣住“浅思维”，因为研究的是“启发式教学”）

【教学课标与目标】

本节课内容为《2017版普通高中数学课程标准》必修课程中的主题三——几何与代数部分中平面向量及其应用的第四个内容——向量应用与解三角形。在2017版课程标准中，对于解三角形部分提出了2点要求：（1）借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。相比较之前的课程标准，2017版课程标准将解三角形内容由旧课标中的一个独立内容调整为了平面向量内容中的子内容，同时，强调了向量运算和解三角形的关系。在解三角形中，正弦定理的得出往往更容易通过直角三角形来推出，因为这个方法更直观，学生更容易想到。而向量法的证明相对抽象，学生不容易理解。2017版新课标将解三角形放到平面向量内容下其用意也很明显，即强调向量工具的作用以及实际应用的价值，强化学生数学建模核心素养的提升。同时，通过向量法推导正弦定理、余弦定理的方式，实现学生数学抽象、数学运算核心素养的提升。

此外，解三角形的全部内容都归于必修内容中，可见知识的难度要求相对较低。但越是相对基础的知识内容其教学越应该体现知识的本质与框架结构（横向联系与纵向联系等），体现数学知识的严谨性与数学逻辑的严密性。

（要参照“范例”的形式进行这一栏目的设计，还要简化）

【教学重点与难点】

教学重点：正弦定理的发现与推导，会运用正弦定理解决两类解三角形实际问题

教学难点：利用抽象的向量法证明正弦定理，结合确定三角形的相关知识建立解三角形的知识框架

【设计模型与特征】

本节课将通过启发式的教学方式，以学生为课堂主体，发挥教师主导作用，带领学生从已有知识出发，通过设计问题串的方式，引发学生思考，感受到自身现有的知识储备在处理一般三角形边角关系问题上的局限，从而产生学习新知的学习需求。接下来，从学生已有经验出发，借助特殊三角形——直角三角形的边角关系发现定理，给出任意三角形边角关系的猜想，再利用比较容易联想到的做高法，证明猜想对于任意三角形成立。学生经历发现、猜想、证明的探索过程，理解并掌握正弦定理本质。之后，教师设置思考题，启发学生思考正弦定理的其他推导方式，从而让学生联想到更加抽象的向量法证明。

 

【教学过程与标题】

一、问题性复习引入，温故知新

教学活动一：复习巩固

【教师活动】教师给出引例：在RT△ABC中，（1）若a=3，b=4，求c边长；（2）若∠A=30°，求∠B；（3）若∠B=60°，c=4，求a的边长。并提问：求解这三个问题的知识依据是什么？

【学生活动】快速求解问题答案，并回答问题。

【生成预设】根据学生已有的知识，预计学生会比较容易想到勾股定理、锐角三角函数、角A和角B互余

【回应策略】根据学生给出的回答进行补充，完善学生回答：勾股定理体现了直角三角形中边与边的数量关系，两角互余则体现了直角三角形中角之间的数量关系，而直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，即锐角三角函数则是反应了直角三角形中边和角的数量关系。

【技术使用】回应同时ppt演示，给出上述关系。

【设计意图】回顾初中解直角三角形知识，为之后的问题探索做铺垫。

教学活动二：问题情境

【教师活动】给出变式问题思考：有A、B、C三个村庄，其中A村庄与C村庄直线距离为千米，A村庄在C村庄的北偏东30°处，同时，A村庄在B村庄的西北方向，B在C的正东方向。你能求出B与C两村庄间直线距离吗？要解决这个问题，首先，需要对这个实际问题进行抽象，请同学们根据题目的意思，先画出图形，看看已知什么，要求什么？是否可以用我们已有的知识来解决?

【学生活动】思考问题，将实际问题抽象为数学问题，并尝试求解，然后回答问题。

【生成预设】大部分学生能准确画出抽象的数学图形，困难学生在画图可能需要老师的启发和引导；部分学生在作出图形的基础上，能够进一步想到把问题转化为已有的解直角三角形的问题中，尝试做高，但选择哪个顶点做高，有的很快想明白，有的需要教师启发和引导，

【技术使用】ppt展示问题。

【回应策略】对于作图有困难的同学，教师应有效引导学生，启发学生抽象出几何图形。对于画出图形却没有思路的学生，教师应用启发式的语言让他们联想到作高的方法。对于能抽象出几何图形并能够快速想到作高法的同学，教师应该肯定学生做高法的思路，顺应学生的思路进行适当补充：这是一个实际问题，我们需要将这一问题抽象为数学模型来处理。作图后，我们会发现这就是一个在任意三三角形中求边长的问题。添加辅助线，构造直角三角形是我们解决这个问题的桥梁之一！然后我们是不是就可以求出高的长度？求出某些角度的大小？最后是不是就可以得出我们的最终答案了呢？

【设计意图】通过解决一个实际问题为问题情境，让学生用自己已有的知识来求解，为之后设置变式思考问题，寻找知识本质过程做铺垫。

教学活动三：寻找本质

【教师活动】提出思考问题串：思考问题一：能不能不添加辅助线，求解呢？思考问题二：我们为什么不可以求解斜三角形中的未知边和角？思考问题三：在斜三角形中边与角关系又是什么样的呢？思考问题四：对比引例你们给出的依据，你们会发现什么？

【学生活动】思考问题，尝试求解。无法给出结果后根据教师提问引导思考老师的第二个思考问题与第三个问题，通过对比课前引例，发现不能求解斜三角形未知边角的本质。

【生成预设】学生对于斜三角形中的边角关系预计会给出：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三个内角和为180°，大边对大角，小边对小角等。对比引例后，第四个思考问题，学生能较容易的发现：斜三角形中的边角关系并非等量关系！而直角三角形则是等量关系！

【技术使用】ppt配合演示，尤其是对比引例的过程，需要通过表格的形式展现。

三角形 元素关系	边与边关系	角的关系	边与角关系
直角三角形	勾股定理	内角和为180° ∠C=90° ∠A与∠B互余	锐角三角函数
斜三角形	两边之和大于第三边，两边之差小于第三边	内角和为180°	大边对大角，小边对小角

 

【回应策略】通过问题串的形式，引导学生一步一步的思考问题，提升思维，逐步走向寻找学习新知本质的方向，期间学生思考会产生困惑，应适当的给他们鼓励。如：让学生不构造辅助线求解问题时，学生可能无法想到别的处理方法，此时应该点明：看来大家又被问题难住了，这样的问题我们似乎不能用现有的知识解决。此外，应注意问题串之间的语言衔接，如思考问题二和思考问题三之间应加入合适的过度语言让学生联想之前的引例：在直角三角形中我们得到了边角的一些关系，在斜三角形中边与角关系又是什么样的呢？之后学生给出思考问题死的发现后，给与肯定，并总结：很好！这样我们就发现了一个本质问题，如果我们想求解斜三角形的未知边和角，就必须得到准确的边和角的量化关系！

引出课题：这就是我们今天的课题：正弦定理。

【设计意图】由特殊到一般，用问题串的新式不断启发学生，探寻我们不能解斜三角形的本质原因是我们已有的三角形知识不能确定准确的边角等量关系，形成认知冲突，我们需要学习新的知识，通过探究来发现新的知识内容——正弦定理。

 

二、互动性启发思考，定理探究

教学活动一：发现定理

【教师活动】同学们，我们不妨回到特殊的直角三角形中利用已有知识进一步寻找边和角之间的关系。根据正弦函数的定义，在直角三角形中我们可以写出如下式子：……得出最后化简得结果后，教师追问：左边的C能否也写成类似地c比sinc的形式？若能，这个表达式子非常对称了。能吗？为什么？【学生活动】学生类比上面具体问题的解答，寻找三角形中已知的边和角和未知量之间可以建立的数量关系关系。

【生成预设】由于我们的课题为正弦定理，在研究工具的选择时，学生很容易想到：利用正弦函数定义作为主要研究工具。并且根据定义，得出：
 

之后，学生根据观察很快可以发现上述式子的主要特征，并可以化简得出：
 

最后，在教师的追问引导下，把上述式子变形，发现正弦定理为：

【技术使用】ppt配合发现定理的过程，引导学生一步一步的思考。

【回应策略】在定理发现的过程中，应不断的用启发式的问题来引导学生，让学生体会发现过程。在定理式子处理的过程中恰当的加入引导性的语言，引导学生完成式子的化简、整理：观察上述三个式子，有何联系？能否进一步得到一个新的关系式？可以改写成吗？

【设计意图】贯彻数学探索过程——从特殊到一般，通过带领学生发现定理，体会知识的产生过程。同时为下面的证明做铺垫

教学活动二：猜想证明

【教师活动】师：这样一个边和角等量关系在斜三角形中还成立吗？师：我们不妨大胆的猜想，这个等量关系在斜三角形中依然成立。我们应该如何证明？在教师带领下完成锐角情况的证明，然后教师提问：“钝角三角形的情况同学们能否自己尝试用同样的方式证明呢？”

【学生活动】学生思考教师的问题，与老师共同完成锐角三角形情况下猜想的证明并自主完成钝角三角形情况下的证明。

【生成预设】学生受前几部分内容影响，很容易想到作高法的证明过程，并且可以很容易的和教师一起完成锐角三角形情况下的猜想证明，钝角三角形情况下由于学生已经有了锐角情况下的证明经验，能够顺利地自主完成证明。

【技术使用】ppt配合教学，完成猜想证明。

【回应策略】整个过程应体现数学逻辑的严谨，严格的进行证明。由于高线在整个证明过程中极为重要，我们应该强调高线的桥梁作用。此外，我们的证明一开始只能得出定理的一部分，应引导学生去换顶点做高线证明剩下的部分。最后，把钝角情况完全交给学生处理，并给出结论，我们的猜想是正确的并准确的表述我们的正弦定理以及解三角形的相关概念。

【设计意图】提出猜想，并去证明猜想，这是我们数学学习中推理证明能力中的重要一环，此外，让学生自己证明另一种情况，有助于学生的知识迁移，帮助学生更好地掌握方法以及其中的数学知识。

三、延伸式拓展证明，头脑风暴

【教师活动】教师通过问题串的方式提问，让学生通过三角形的高线联想三角形的面积表达式，从而得出新的面积表达并给出面积的证明方法；然后通过高线再引导学生联想到高线其实就是两个边在底边的投影，引出向量法的证明。

师：在正弦定理证明中我们采取了作高的方式，由三角形的高你还能联想到三角形中哪一个重要的知识点呢？

师：请大家自己尝试给出三角形面积表达的另一种形式。

师：面积表达式有几个？可以利用这三个面积表达式来证明正弦定理吗？如何证明？

然后，利用三个面积表达式相等证明正弦定理。

师：除了面积，你还能通过高线联想到什么知识点？

师：投影还可以联想到什么知识点呢？

然后，带领学生用向量法再次证明正弦定理。

【学生活动】学生思考，动手尝试，然后给出回答。

【生成预设】通过高线，学生很容易联想到三角形面积表达，很快就可以得出新的面积表达。但学生不会一下得出三个面积表达式，需要教师引导后，强调三角形有三条高线，学生才能类比得出全部三个面积表达式。之后通过教师引导，可以联想到投影与向量的证明法，证明过程中，会有学生得出余弦定理的表达，应当留意。

【技术使用】ppt配合问题，进行教学。

【回应策略】学生在得出一个三角形的面积表达式后，教师应该追问：“面积表达式只有这一个吗？”引导学生思考后，指出三角形一共有三条高线，得出全部表达式。在利用面积法证明正弦定理时，个别学生可能没有思路，教师应该引导学生观察三个面积表达式的形式特征，启发学生想到利用三个面积表达式连等，证明正弦定理。在向量法证明的过程中，应考虑好处理学生不同的解法。一种是两边平法，一种是同乘高线所在直线的向量。尤其是第一种情况下，会发现余弦定理，应肯定学生的思维，为下节课余弦定理向量法证明打下基础。

【设计意图】强化知识，并给出定理的其他证明方法，帮助学生提升数学思维，在探寻不同解法证明思路时，拓展、完善学生的数学知识体系，为下节课余弦定理证明做铺垫。

 

四、建构性巩固练习，新知应用

教学环节一：课堂练习

【教师活动】师：正弦定理在我们日常生活中是有着广泛应用的，下面我们来解决这几个例题。

例1. 根据条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，可使用计算器）

（1）

（2）

 

 

 

 

例2. 如图，某登山队在山脚A处测的山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D处，又测的山顶的仰角为65°，求山的高度BC（精确到1米）

 

 

 

 

 

 

 

【学生活动】学生练习，运用定理解决实际问题和纯数学问题。

【生成预设】

例1： （1）由正弦定理，

∴∠B≈54.3°或∠B=180°-54.3°=125.7°

又∵∠B=125.7°时，∠B+∠A=155.7°＜180°满足构成三角形的内角和要求。

故∠B有两解。

当∠B=54.3度时，∠C=95.7°，

当∠B=125.7°时，∠C=24.3°，

（2）由正弦定理，

∴∠B≈25.7°或者∠B=154.3°

由于当∠B=154.3°时，∠B+∠A=184.3°＞180°不符合构成三角形内角和条件。

∴∠B只有一解

∠B=25.7°时，∠C=124.3°，

 

例2：过点D作DE∥AC交BC于E因为∠DAC=20°，所以∠ADE=160°

∴

又∵，∴∠ABD=30°

在△ABD中，由正弦定理，得：

在RT△ABC中，

答：山高度约为811米

【技术使用】电子屏白板演示解题过程与规范。

【回应策略】解题中应强调作为应用题的例1和例2的格式规范，强调例3中两边与一边对角的解三角形题目应该仔细考虑是否角度存在两解的可能，避免遗漏其中一种情况。

【设计意图】通过例题训练，巩固定理，并在练习中强化定理运用，锻炼学生数学逻辑思维的严密性。

教学活动二：构建框架

【教师活动】根据上面的例题和正弦定理的表达式，思考可以用正弦定理解决的解三角形问题为哪几种情况，并根据这两种情况引导学生联想全等三角形的判定，形成解三角形的知识框架。

师：通过例题，我们能总结下正弦定理可以解决哪几类解三角形问题呢？

师：根据例题以及这个式子得出结论。可以解决问题为已知两角和一边问题以及已知两边和其中一边对角问题

师：解三角形可以帮助我们用准确的量化关系确定三角形，我们初中确定三角形的知识依据是什么呢？

师：它们和正弦定理有什么联系呢？

给出表格：

全等三角形	解三角形
SAS	？
SSS	？
AAS	正弦定理
ASA	正弦定理
HL	正弦定理

其中，SSA是不可以判定三角形全等的，但一旦这个角大小确定的话就可以确定三角形了，需要加以说明，并以HL为例解释。

最后抛出思考问题：类似于全等三角形判定中的SAS和SSS的解三角形问题能否也用正弦定理解决？

【学生活动】学生思考，在教师引导下得出两类正弦定理才能解决的解三角形问题，同时联系已有的全等三角形知识，完成框架表格。

【生成预设】让学生直接得出正弦定理能解决的两类解三角形问题是有一定难度的，因此，让学生联系之前三个例题并从连等式出发考虑后，学生还是可以发现结论的。而联想初中三角形的确定知识时，想到三角形全等是很自然的。

【技术使用】ppt演示，配合课堂问题串进行教学。

【回应策略】在这两类正弦定理可以解决的解三角形问题中，已知两角和一边的情况是很容易对应到AAS和ASA的，但已知两边和一边对角的情况学生会想到SSA，可是SSA并非全等三角形的判定方法，因此应该及时发现学生的困惑，肯定他们的思考结果的同时给出解释。帮助学生完成知识框架搭建。

【设计意图】通过对正弦定理可以解决的两类解三角形问题的深入思考，建立初高中知识联系框架，让知识更多的生成，学生将收获更多，使自己的知识体系完善，数学思维提升。同时，为下节课余弦定理内容打下基础。

 

五、拓展性反思小结，内化知识

【教师活动】课堂小结，让学生回顾本节课学习的知识重点，教师最后提炼学生的回答并升华总结。

师：本节课我们学习了正弦定理，请一位同学来帮老师总结下这节课的重要知识点。

师：这节课，我们经历了从特殊到一般的探索过程，寻找到了解三角形的本质即边角的准确量化关系。定理探索中，我们运用了类比，化归，联想，数形结合等数学思想方法，发现、归纳、猜想、证明，得到了我们正弦定理的相关知识，并掌握了做高法和向量法的证明方法，此外，我们还总结出了正弦定理可以解决的两类解三角形问题，并把解三角形知识与全等三角形知识建立联系，形成了解三角的知识体系框架，为后面的学习打下了基础。

【学生活动】学生回顾整节课内容，进行知识总结。

【生成预设】学生首先会想到的一定是这节课学习的主要知识点，即正弦定理：以及定理证明的两种方法，然后会想到正弦定理可以解决的两类解三角形问题以及与三角形全等知识对应的框架图。部分学生可以想起定理的本质，即边角的准确量化关系，还有小部分学生可能会想到解三角形在解决实际问题中的格式规范。

【技术使用】ppt演示，帮助学生进行知识小结与反思。

【回应策略】教师在学生总结时应该随机应变，把学生回答总结分类。如果学生的回答不到位，应该适当引导学生回答到位。最后，再给出自己的总结与升华。

【设计意图】及时的、有效的课堂小结反思，有助于学生将所学知识进一步内化。

【板书设计与导图】

导师审读

需要阅读新的指导文件与范例；

缺少主标题，副标题设计不合要求，教学目标设计格式不对（在课标相关要求指导下设计教学目标，分条阐述）；

教学流程小标题设计至关重要，要新颖别致，它也是后面案例与论文撰写的重要内容；

不要随意空行，序号“一二三四”的后面不是换点，是顿号；文件命名要按照要求进行；

“代表课”设计要一步一步进行。

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