我们来看看下面这个无穷级数：
E=1+1/2+1/3+1/4−1/5+1/6+1/7+1/8+1/9−1/10+1/11+1/12−1/13+1/14−1/15+1/16−1/17+1/18+1/19−1/20+1/21+1/22+1/23+1/24+12/5−1/26+1/27+1/28−1/29−1/30+1/31+⋯ .

乍一看这是著名的调和级数∑1/k 。调和级数的每一项前面符号都是正的，在数学分析课上讲到它是发散的。而上面这个级数里有些项的前面是负号，但是到底哪些项前面的符号是负的，却看不太清楚。

事实上负号的规则是这样的：所有的奇素数要么是4k+1型的（如5, 13, 17等），要么是4k+3型的（如3, 7, 11等）。把一个自然数唯一素数分解后，如果里面有奇数个4k+1型的素数的因子，那么就取此项为负。

比如5, 13, 17是4k+1型素数，所以1/5, 1/13, 1/17这些项前面是负数。10=2*5，15=3*5，125=5*5*5，都有奇数个4k+1型素因子，所以1/10, 1/15和1/125这些项前面也是负数，。相反，25=5*5, 21=3*7等等都只有偶数个4k+1型素因子，1/21, 1/25等项前就是正数了。

说来说去，那这个级数收敛不收敛，如果收敛，级数和是多少呢？答案是，这个级数收敛，和不是别的，恰恰就是圆周率π！

其实象调和函数这样，每项的绝对值趋于0却发散的级数，我们总能适当地改变其中某些项的符号，使得改过后的级数收敛到任何想要的数上。所以改动其中一些项的符号能使其收敛到π并不让人吃惊，这里有趣的是我们能具体知道要改动哪些项的符号。

这个结果由伟大的欧拉给出。具体的证明并不难，很象是一个高明的厨师令人眼花缭乱的烹调过程。可以看这篇文章《欧拉的奇迹》（英文）的介绍： 网页链接